Spekuluji.

Pokud se v okamžiku neschopnosti přihlásit prostřednictvím klienta Steamu to jde via webové stránky, problém pravděpodobně nebude na straně Valve. Napadají mě jen dvě možnosti:
- problém v konkrétním PC
- problém s připojením (router, jeho FW pravidla, či provider a jeho pravidla).
Pokud máš dva PC, možná bys mohl vyzkoušet ten druhý, nejlépe s jiným OS. Teoreticky(?) by na vině ještě mohla být nějaké nalomená instalace Steamu. Smazat vše kromě steam.exe a adresáře SteamApps, spuštění steam.exe (musíš se regnout, stáhne se vše potřebné) by možná mohlo pomoci. Předtím ještě bych raději komplet zazálohoval userdata.